Saltar ao contido

Matriz (matemáticas)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, unha matriz é un conxunto de números ordenados en filas e columnas de forma rectangular, na que se pode definir un conxunto de operacións. As matrices teñen múltiples aplicacións, como na resolución de sistemas de ecuacións lineais, e son fundamentais na álxebra lineal.

Definición

[editar | editar a fonte]
Liñas Matriz
Filas matiz 4x4‎
Columnas ‎

Unha matriz en R é unha colección dobremente indexada de elementos dun anel R, é dicir, que os elementos disporanse en filas e columnas e que os elementos teñen definidos operacións semellantes a suma e ao produto.[1] A meirande parte deste artigo referirase as matrices de elementos nun corpo K, en particular, ás matrices reais ou complexas, é dicir, matrices cuxos elementos son números reais ou complexos, respectivamente. Un exemplo dunha matriz sería:

Os obxectos matemáticos que conforman a matriz son os seus elementos. As liñas horizontais chámanse filas, e as verticais, columnas.

Unha matriz de orde ou, xeralmente, unha matriz é unha matriz con m filas e n columnas, e m e n son as dimensións da matriz. Por exemplo, a matriz A anterior é unha matriz . A matriz será unha matriz fila, e a matriz será unha matriz columna.

Para referirmos ao conxunto de matrices de orde , usaremos , onde é o anel ao que pertencen os elementos. No caso do conxunto de matrices cadradas e , usaremos a notación de

Notación

[editar | editar a fonte]

As matrices adoitan denotarse con letras maiúsculas, en tanto que os seus elementos son denotados por letras minúsculas con dous índices. Aquí, usaremos a notación de dobre subindexado para falar dos elementos dunha matriz A: o elemento de A na fila i e na columna j denótase por aij. Normalmente, unha matriz escribirase da seguinte forma:

.

Deste xeito, se:

entón a23 = 1 e a11 = 4. Ás veces, utilizarase Aij para representar aij e a notación de (aij) para referirse á matriz A cando a súa orde estea clara polo contexto. Hai que ter en conta que existen outra notación, na que se escribirá para indicar o mesmo elemento.[2] Ás veces, para traballar comodamente coas columnas dunha matriz, escribiremos onde é a columna i-ésima.

Diremos que dúas matrices e son iguais cando teñen a mesma orde m×n e todos os elementos correspondentes son iguais, é dicir, .

No estudo das matrices, adoitase chamar escalar aos elementos do anel, é dicir, os escalares serán os números reais se o noso anel son os reais.

Operacións de matrices

[editar | editar a fonte]

Multiplicación por un escalar

[editar | editar a fonte]

A multiplicación é unha das operacións máis sinxelas que poden ser feitas con matrices. Para multiplicar un número calquera por unha matriz m×n , basta multiplicar cada elemento de por . Así, a matriz resultante será tamén m×n e . Con iso, pódese pensar tamén na noción de dividir unha matriz por un número: basta multiplicala polo inverso dese número. Mais esa noción pode ser perigosa: en canto a multiplicación entre un número e unha matriz pode ser dita "conmutativa", o mesmo non vale para a división, pois non se pode dividir un número por unha matriz.

Por exemplo:

Adición de matrices

[editar | editar a fonte]
Artigo principal: suma de matrices.

Se e son dúas matrices da mesma orde m×n, entón a suma é a matriz de orde m×n que se obtén ao sumar os elementos de cos elementos de que lle corresponden, é dicir, dadas as matrices e da mesma orde, e , entón a suma .

Por exemplo:

.

A matriz escríbese , e entón podemos definir a diferenza de dúas matrices: dadas as matrices e da mesma orde, e , entón a diferenza .

Transposición

[editar | editar a fonte]

Se é unha matriz de orde m×n, entón a matriz trasposta de é a matriz n×m que se forma intercambiando as filas e as columnas de , isto é,

Por exemplo:

Produto de matrices

[editar | editar a fonte]
Artigo principal: produto de matrices.

O produto de dúas matrices é só posíbel se o número de columnas da matriz da esquerda é o mesmo número de liñas da matriz da dereita. Se é unha matriz m×n e é unha matriz n×p, entón o produto é unha matriz m×p é .

Por exemplo:

Potencia dunha matriz cadrada

[editar | editar a fonte]
Artigo principal: produto de matrices.

A potencia dunha matriz sería unha multiplicación repetida, o que pode realizarse cando a matriz é cadrada.

Cando unha matriz cadrada é diagonalizábel esta diagonalización , onde é unha matriz diagonal, pódese usar para calcular eficientemente as potencias dunha matriz:

e isto último é doado de calcular xa que só implica as potencias dunha matriz diagonal.

Álxebra de matrices

[editar | editar a fonte]

Propiedades da adición de matrices e da multiplicación por escalares

[editar | editar a fonte]

Dadas as matrices , , da mesma orde e , escalares, entón cúmprense as seguintes propiedades:

  1. Conmutativa:
  2. Asociativa:
  3. Elemento neutro da suma de matrices: Para todas as matrices da mesma orde, existe unha matriz tal que para calquera matriz
  4. Elemento oposto da suma de matrices: Para toda matriz existe unha matriz tal que
  5. Distributiva respecto á suma de matrices:
  6. Distributiva respecto á suma de escalares:
  7. onde é o elemento neutro do produto do anel R ao que pertence o escalar.

Propiedades do produto de matrices

[editar | editar a fonte]

Dadas as matrices , , das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:

  1. Asociativa:
  2. Distributiva pola esquerda:
  3. Distributiva pola dereita:
  4. Se ten orde m×n,

En xeral, observamos que o produto de dúas matrices e é non conmutativo:

  • Se as matrices non son cadradas, polo menos un dos dous produtos non estará definido.
  • De seren dúas matrices cadradas, os produtos e estarán definidos, pero non teñen por que coincidir, como no seguinte exemplo:
Exemplo:   e  as matrices non conmutan.

De coincidiren, e diremos que as matrices e conmutan.

Propiedades da transposición

[editar | editar a fonte]

Dadas as matrices , das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:

Matriz cadrada

[editar | editar a fonte]
Artigo principal: matriz cadrada.

Unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas que de columnas, é dicir, son as matrices de orde nxn ou, simplemente, de orde n. Chamaremos ao conxunto de elementos da forma como diagonal principal.

Principais tipos

[editar | editar a fonte]

Matrices diagonais e triangulares

[editar | editar a fonte]
Nome Exemplo con n=3 Definición
Matriz diagonal
Matriz triangular inferior
matriz triangular superior

Se todos os elementos da matriz por debaixo da diagonal principal son nulos , é unha matriz triangular superior. Analogamente, se os elementos que están por riba da diagonal principal son cero, entón é unha matriz diagonal inferior. Se todas os elementos que no estean na diagonal principal son nulos, diremos que é unha matriz diagonal.

Se os elementos da diagonal son , defínese como a matriz diagonal na que .

Matriz identidade

[editar | editar a fonte]

A matriz identidade de orde n é a matriz de orde nxn tal que todos os elementos da diagonal principal son iguais a 1, e o resto de elementos son iguais a 0, como:

Son un tipo especial de matrices cadradas, que toman o seu nome porque manteñen as matrices despois do produto: para toda matriz de orde mxn.

Matriz simétrica e antisimétrica

[editar | editar a fonte]

Unha matriz cadrada é unha matriz simétrica se , mais se , entón é unha matriz antisimétrica.

Pódense construír matrices destes tipos a partir doutras que non pertence, por exemplo, se é unha matriz cadrada, é unha matriz simétrica e é unha matriz antisimétrica, e para calquera matriz , é unha matriz simétrica.

Matriz invertible e matriz inversa

[editar | editar a fonte]
Artigo principal: matriz invertíbel.

Unha matriz cadrada de orde n, é invertible o non singular se existe unha matriz tal que , onde é a matriz identidade nxn. Se existe, entón denotarémola como a matriz inversa de ou . [3] A matriz inversa ten as seguintes propiedades:

  • Se e todas son matrices cadradas e invertibles, entón .
  • Se é simétrica, entón tamén.
  • Se existe a matriz inversa, entón esta ha de ser única.

Matriz ortogonal

[editar | editar a fonte]

Unha matriz cadrada é unha matriz ortogonal con elementos reais e que a súa matriz trasposta é igual a súa matriz inversa: . Deste xeito, temos que .

Operacións principais

[editar | editar a fonte]

A traza, , dunha matriz cadrada é a suma dos elementos da súa diagonal, é dicir, . Un exemplo sería

Pódese deducir pola definición de produto de matrices que:

Disto conclúese que a traza dun produto de máis de dúas matrices é independente dunha permutación cíclica de matrices, mais isto non se aplica en xeral a permutacións arbitrarias, por exemplo . Tamén temos que a traza dunha matriz ten a mesma traza que a súa transposta, isto é, .

Determinante

[editar | editar a fonte]
Artigo principal: Determinante (matemáticas).
Unha transformación linear en R2 dada pola matriz indicada. O determinante desta matriz é −1, xa que a área do paralelogramo verde á dereita é 1, mais o mapa inverte a orientación, xa que xira a orientación antihorario dos vectores cara a un sentido horario.

O determinante dunha matriz cadrada A (denominado det(A) ou |A|) é un número que codifica certas propiedades da matriz. Unha matriz é invertíbel se e só se o seu determinante é distinto de cero.

O seu valor absoluto é igual á área (en R2) ou volume (en R3) da imaxe do cadrado (ou cubo), mentres que o seu signo corresponde á orientación do mapa linear correspondente: o determinante é positivo se e só se se conserva a orientación.

O determinante ou dunha matriz cadrada é a única función matricial que leva ao conxunto a que cumpre:[4]

Ás propiedades 1 e 2 din que é unha función n-linear para as columnas e a propiedade 3 di que é alternada para as columnas.

O determinante ten diferentes propiedades, entre as que salientan:

  • Unha matriz é invertíbel se e só se o seu determinante non é cero.
  • , polo que temos as mesmas propiedades para as filas que para as columnas.
  • O seu valor absoluto equivale á área (en ), ao volume (en ) ou ao volume xeneralizado (en ) do cubo que ten por costados aos vectores que corresponden coas columnas da matriz.
  • Mediante a regra de Cramer, pódese usar para resolver sistemas de ecuacións lineais.

Eigenvalores e eigenvectores

[editar | editar a fonte]

Un número e un vector distinto de cero v que satisfán

chámanse eigenvalor (ou valor propio) e eigenvector (ou vector propio) de A, respectivamente.[5][6] O número λ é un eigenvalor dunha matriz n×n-A se e só se A−λIn non é invertíbel, o que é equivalente a

[7]

O polinomio nunha variable indeterminada X dada pola avaliación do determinante chámase polinomio característico de A. É un polinomio mónico de grao n. Polo tanto, a ecuación polinómica ten como máximo n solucións diferentes, é dicir, n eigenvalores da matriz.[8] Poden ser complexos aínda que as entradas de A sexan reais.

Segundo o teorema de Cayley–Hamilton, , é dicir, o resultado de substituír a propia matriz no seu polinomio característico obtén a matriz cero.

Ecuacións lineais

[editar | editar a fonte]

A álxebra de matrices é interesante para a representación de sistemas de ecuacións lineais. Por exemplo, supoñamos que queremos resolver o seguinte sistema:

Entón poderemos representalo pola ecuación de matrices , onde

Como neste caso temos que é invertíbel, entón:

En xeral, se é unha matriz mxn, é unha matriz columna n×1 e é outra matriz columna m×1, entón a ecuación é equivalente ao sistema de ecuacións

Como no caso anterior, se n = m e é invertible (as ecuacións son independentes), podemos escribir para resolver o sistema. En calquera outro caso, ou ben o sistema non té solucións ou ben té infinitas.

Descomposición

[editar | editar a fonte]
Artigo principal: Descomposición de matrices.

Hai diferentes métodos para traballar coas matrices dun xeito máis sinxelo, para o cal unha posibilidade é o uso de técnicas coñecidas como "descomposición matricial" ou "factorización matricial". Debido a que estas transformacións manteñen certas propiedades da matriz orixinal, como o determinante, o rango ou os autovalores, estas propiedades poden ser calculadas a partir da descomposición no canto da matricial orixinal. Deste xeito son utilizadas na análise numérica para realizar certas operacións matriciais de maneira máis eficiente.

Aplicacións

[editar | editar a fonte]

Teoría de grafos

[editar | editar a fonte]

En teoría de grafos, usando as matrices pódense representar grafos, atopar caracterizacións e demostrar resultados con técnicas de álxebra lineal. Entre as matrices que se utilizan salientan[9]:

  • A matriz de adxacencia, que garda a información de que vértices están conectados por unha aresta.
  • A matriz de incidencia, que almacena en un -1 se a aresta j sae do vértice i, 1 se entra e 0 no outros casos.
  • A matriz laplaciana, que se define como a matriz diferenza entre a matriz de grados e a matriz de adxacencia.
  • A matriz de distancias, que é a matriz que garda a distancia entre os vértices dun grafo.
  1. Lang et al. 2002, p. 503.
  2. Rojo et al. 2007, p. 115.
  3. Poole et al. 2011, p. 167.
  4. Blyth & Robertson 1986, p. 86.
  5. Eigen significa "propio" en alemán e en Holandés.
  6. Brown 1991, Definition III.4.1
  7. Brown 1991, Definition III.4.9
  8. Brown 1991, Corollary III.4.10
  9. Bapat et al. 2010.

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]