Matriz (matemáticas)
En matemáticas, unha matriz é un conxunto de números ordenados en filas e columnas de forma rectangular, na que se pode definir un conxunto de operacións. As matrices teñen múltiples aplicacións, como na resolución de sistemas de ecuacións lineais, e son fundamentais na álxebra lineal.
Definición
[editar | editar a fonte]Liñas | Matriz |
---|---|
Filas | |
Columnas |
Unha matriz en R é unha colección dobremente indexada de elementos dun anel R, é dicir, que os elementos disporanse en filas e columnas e que os elementos teñen definidos operacións semellantes a suma e ao produto.[1] A meirande parte deste artigo referirase as matrices de elementos nun corpo K, en particular, ás matrices reais ou complexas, é dicir, matrices cuxos elementos son números reais ou complexos, respectivamente. Un exemplo dunha matriz sería:
Os obxectos matemáticos que conforman a matriz son os seus elementos. As liñas horizontais chámanse filas, e as verticais, columnas.
Orde
[editar | editar a fonte]Unha matriz de orde ou, xeralmente, unha matriz é unha matriz con m filas e n columnas, e m e n son as dimensións da matriz. Por exemplo, a matriz A anterior é unha matriz . A matriz será unha matriz fila, e a matriz será unha matriz columna.
Para referirmos ao conxunto de matrices de orde , usaremos , onde é o anel ao que pertencen os elementos. No caso do conxunto de matrices cadradas e , usaremos a notación de
Notación
[editar | editar a fonte]As matrices adoitan denotarse con letras maiúsculas, en tanto que os seus elementos son denotados por letras minúsculas con dous índices. Aquí, usaremos a notación de dobre subindexado para falar dos elementos dunha matriz A: o elemento de A na fila i e na columna j denótase por aij. Normalmente, unha matriz escribirase da seguinte forma:
- .
Deste xeito, se:
entón a23 = 1 e a11 = 4. Ás veces, utilizarase Aij para representar aij e a notación de (aij) para referirse á matriz A cando a súa orde estea clara polo contexto. Hai que ter en conta que existen outra notación, na que se escribirá para indicar o mesmo elemento.[2] Ás veces, para traballar comodamente coas columnas dunha matriz, escribiremos onde é a columna i-ésima.
Diremos que dúas matrices e son iguais cando teñen a mesma orde m×n e todos os elementos correspondentes son iguais, é dicir, .
No estudo das matrices, adoitase chamar escalar aos elementos do anel, é dicir, os escalares serán os números reais se o noso anel son os reais.
Operacións de matrices
[editar | editar a fonte]Multiplicación por un escalar
[editar | editar a fonte]A multiplicación é unha das operacións máis sinxelas que poden ser feitas con matrices. Para multiplicar un número calquera por unha matriz m×n , basta multiplicar cada elemento de por . Así, a matriz resultante será tamén m×n e . Con iso, pódese pensar tamén na noción de dividir unha matriz por un número: basta multiplicala polo inverso dese número. Mais esa noción pode ser perigosa: en canto a multiplicación entre un número e unha matriz pode ser dita "conmutativa", o mesmo non vale para a división, pois non se pode dividir un número por unha matriz.
Por exemplo:
Adición de matrices
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: suma de matrices.
Se e son dúas matrices da mesma orde m×n, entón a suma é a matriz de orde m×n que se obtén ao sumar os elementos de cos elementos de que lle corresponden, é dicir, dadas as matrices e da mesma orde, e , entón a suma .
Por exemplo:
- .
A matriz escríbese , e entón podemos definir a diferenza de dúas matrices: dadas as matrices e da mesma orde, e , entón a diferenza .
Transposición
[editar | editar a fonte]Se é unha matriz de orde m×n, entón a matriz trasposta de é a matriz n×m que se forma intercambiando as filas e as columnas de , isto é,
Por exemplo:
Produto de matrices
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: produto de matrices.
O produto de dúas matrices é só posíbel se o número de columnas da matriz da esquerda é o mesmo número de liñas da matriz da dereita. Se é unha matriz m×n e é unha matriz n×p, entón o produto é unha matriz m×p é .
Por exemplo:
Potencia dunha matriz cadrada
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: produto de matrices.
A potencia dunha matriz sería unha multiplicación repetida, o que pode realizarse cando a matriz é cadrada.
Cando unha matriz cadrada é diagonalizábel esta diagonalización , onde é unha matriz diagonal, pódese usar para calcular eficientemente as potencias dunha matriz:
e isto último é doado de calcular xa que só implica as potencias dunha matriz diagonal.
Álxebra de matrices
[editar | editar a fonte]Propiedades da adición de matrices e da multiplicación por escalares
[editar | editar a fonte]Dadas as matrices , , da mesma orde e , escalares, entón cúmprense as seguintes propiedades:
- Conmutativa:
- Asociativa:
- Elemento neutro da suma de matrices: Para todas as matrices da mesma orde, existe unha matriz tal que para calquera matriz
- Elemento oposto da suma de matrices: Para toda matriz existe unha matriz tal que
- Distributiva respecto á suma de matrices:
- Distributiva respecto á suma de escalares:
- onde é o elemento neutro do produto do anel R ao que pertence o escalar.
Propiedades do produto de matrices
[editar | editar a fonte]Dadas as matrices , , das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:
- Asociativa:
- Distributiva pola esquerda:
- Distributiva pola dereita:
- Se ten orde m×n,
En xeral, observamos que o produto de dúas matrices e é non conmutativo:
- Se as matrices non son cadradas, polo menos un dos dous produtos non estará definido.
- De seren dúas matrices cadradas, os produtos e estarán definidos, pero non teñen por que coincidir, como no seguinte exemplo:
Exemplo: e as matrices non conmutan.
De coincidiren, e diremos que as matrices e conmutan.
Propiedades da transposición
[editar | editar a fonte]Dadas as matrices , das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:
Matriz cadrada
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: matriz cadrada.
Unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas que de columnas, é dicir, son as matrices de orde nxn ou, simplemente, de orde n. Chamaremos ao conxunto de elementos da forma como diagonal principal.
Principais tipos
[editar | editar a fonte]Matrices diagonais e triangulares
[editar | editar a fonte]Nome Exemplo con n=3 Definición Matriz diagonal Matriz triangular inferior matriz triangular superior
Se todos os elementos da matriz por debaixo da diagonal principal son nulos , é unha matriz triangular superior. Analogamente, se os elementos que están por riba da diagonal principal son cero, entón é unha matriz diagonal inferior. Se todas os elementos que no estean na diagonal principal son nulos, diremos que é unha matriz diagonal.
Se os elementos da diagonal son , defínese como a matriz diagonal na que .
Matriz identidade
[editar | editar a fonte]A matriz identidade de orde n é a matriz de orde nxn tal que todos os elementos da diagonal principal son iguais a 1, e o resto de elementos son iguais a 0, como:
Son un tipo especial de matrices cadradas, que toman o seu nome porque manteñen as matrices despois do produto: para toda matriz de orde mxn.
Matriz simétrica e antisimétrica
[editar | editar a fonte]Unha matriz cadrada é unha matriz simétrica se , mais se , entón é unha matriz antisimétrica.
Pódense construír matrices destes tipos a partir doutras que non pertence, por exemplo, se é unha matriz cadrada, é unha matriz simétrica e é unha matriz antisimétrica, e para calquera matriz , é unha matriz simétrica.
Matriz invertible e matriz inversa
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: matriz invertíbel.
Unha matriz cadrada de orde n, é invertible o non singular se existe unha matriz tal que , onde é a matriz identidade nxn. Se existe, entón denotarémola como a matriz inversa de ou . [3] A matriz inversa ten as seguintes propiedades:
- Se e todas son matrices cadradas e invertibles, entón .
- Se é simétrica, entón tamén.
- Se existe a matriz inversa, entón esta ha de ser única.
Matriz ortogonal
[editar | editar a fonte]Unha matriz cadrada é unha matriz ortogonal con elementos reais e que a súa matriz trasposta é igual a súa matriz inversa: . Deste xeito, temos que .
Operacións principais
[editar | editar a fonte]Traza
[editar | editar a fonte]A traza, , dunha matriz cadrada é a suma dos elementos da súa diagonal, é dicir, . Un exemplo sería
Pódese deducir pola definición de produto de matrices que:
Disto conclúese que a traza dun produto de máis de dúas matrices é independente dunha permutación cíclica de matrices, mais isto non se aplica en xeral a permutacións arbitrarias, por exemplo . Tamén temos que a traza dunha matriz ten a mesma traza que a súa transposta, isto é, .
Determinante
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: Determinante (matemáticas).
O determinante dunha matriz cadrada A (denominado det(A) ou |A|) é un número que codifica certas propiedades da matriz. Unha matriz é invertíbel se e só se o seu determinante é distinto de cero.
O seu valor absoluto é igual á área (en R2) ou volume (en R3) da imaxe do cadrado (ou cubo), mentres que o seu signo corresponde á orientación do mapa linear correspondente: o determinante é positivo se e só se se conserva a orientación.
O determinante ou dunha matriz cadrada é a única función matricial que leva ao conxunto a que cumpre:[4]
Ás propiedades 1 e 2 din que é unha función n-linear para as columnas e a propiedade 3 di que é alternada para as columnas.
O determinante ten diferentes propiedades, entre as que salientan:
- Unha matriz é invertíbel se e só se o seu determinante non é cero.
- , polo que temos as mesmas propiedades para as filas que para as columnas.
- O seu valor absoluto equivale á área (en ), ao volume (en ) ou ao volume xeneralizado (en ) do cubo que ten por costados aos vectores que corresponden coas columnas da matriz.
- Mediante a regra de Cramer, pódese usar para resolver sistemas de ecuacións lineais.
Eigenvalores e eigenvectores
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: Valor propio, vector propio e espazo propio.
Un número e un vector distinto de cero v que satisfán
chámanse eigenvalor (ou valor propio) e eigenvector (ou vector propio) de A, respectivamente.[5][6] O número λ é un eigenvalor dunha matriz n×n-A se e só se A−λIn non é invertíbel, o que é equivalente a
O polinomio nunha variable indeterminada X dada pola avaliación do determinante chámase polinomio característico de A. É un polinomio mónico de grao n. Polo tanto, a ecuación polinómica ten como máximo n solucións diferentes, é dicir, n eigenvalores da matriz.[8] Poden ser complexos aínda que as entradas de A sexan reais.
Segundo o teorema de Cayley–Hamilton, , é dicir, o resultado de substituír a propia matriz no seu polinomio característico obtén a matriz cero.
Ecuacións lineais
[editar | editar a fonte]A álxebra de matrices é interesante para a representación de sistemas de ecuacións lineais. Por exemplo, supoñamos que queremos resolver o seguinte sistema:
Entón poderemos representalo pola ecuación de matrices , onde
Como neste caso temos que é invertíbel, entón:
En xeral, se é unha matriz mxn, é unha matriz columna n×1 e é outra matriz columna m×1, entón a ecuación é equivalente ao sistema de ecuacións
Como no caso anterior, se n = m e é invertible (as ecuacións son independentes), podemos escribir para resolver o sistema. En calquera outro caso, ou ben o sistema non té solucións ou ben té infinitas.
Descomposición
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: Descomposición de matrices.
Hai diferentes métodos para traballar coas matrices dun xeito máis sinxelo, para o cal unha posibilidade é o uso de técnicas coñecidas como "descomposición matricial" ou "factorización matricial". Debido a que estas transformacións manteñen certas propiedades da matriz orixinal, como o determinante, o rango ou os autovalores, estas propiedades poden ser calculadas a partir da descomposición no canto da matricial orixinal. Deste xeito son utilizadas na análise numérica para realizar certas operacións matriciais de maneira máis eficiente.
Aplicacións
[editar | editar a fonte]Teoría de grafos
[editar | editar a fonte]En teoría de grafos, usando as matrices pódense representar grafos, atopar caracterizacións e demostrar resultados con técnicas de álxebra lineal. Entre as matrices que se utilizan salientan[9]:
- A matriz de adxacencia, que garda a información de que vértices están conectados por unha aresta.
- A matriz de incidencia, que almacena en un -1 se a aresta j sae do vértice i, 1 se entra e 0 no outros casos.
- A matriz laplaciana, que se define como a matriz diferenza entre a matriz de grados e a matriz de adxacencia.
- A matriz de distancias, que é a matriz que garda a distancia entre os vértices dun grafo.
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Lang et al. 2002, p. 503.
- ↑ Rojo et al. 2007, p. 115.
- ↑ Poole et al. 2011, p. 167.
- ↑ Blyth & Robertson 1986, p. 86.
- ↑ Eigen significa "propio" en alemán e en Holandés.
- ↑ Brown 1991, Definition III.4.1
- ↑ Brown 1991, Definition III.4.9
- ↑ Brown 1991, Corollary III.4.10
- ↑ Bapat et al. 2010.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Anton, Howard (2003). Introducción al Álgebra Lineal. México: Editorial Limusa, S.A. ISBN 9789681863173.
- Blyth, Thomas S.; Robertson, Edmund F. (2002). Basic Linear Algebra. Springer. ISBN 9781852336622.
- Blyth, Thomas S.; Robertson, Edmund F. (1986). Essential Student Algebra: Volume Two: Matrices and Vector Spaces. Springer. ISBN 978-0-412-27870-9.
- Lang, Serge (2002). Algebra. Nova York: Springer-Verlag New York. ISBN 0-38-795385-X.
- Poole, David (2011). Linear Algebra: A Modern Introduction. Brooks Cole. ISBN 0-538-73544-9.
- Rojo, Jesús (2007). Algebra lineal. Madrid: McGraw-Hill. ISBN 978-84-481-5635-0.
- Strang, Gilbert (2016). Introduction to Linear Algebra (Quinta ed.). Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-09802327-7-6.
- Bapat, R.B. (2010). Graphs and Matrices. Springer. ISBN 978-1-84882-980-0.
- Godsil, Chris; Royle, Gordon F. (2001). Algebraic graph theory. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 9780387952208.
Ligazóns externas
[editar | editar a fonte]- MIT Linear Algebra Video Lectures de Gilbert Strang (en inglés)